02.04 - Distribuciones de probabilidad

Modelos de Simualción

---

1. Distribución Uniforme (Continua)

Características:

• Todos los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir.
• Se define por dos parámetros: a (límite inferior) y b (límite superior).

Fórmula:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a} & \text{para } a \le x \le b \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}$$

---

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import uniform

a = 0
b = 10
x = np.linspace(a, b, 100)
y = uniform.pdf(x, a, b - a)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.title("Distribución Uniforme")
plt.show()

---

2. Distribución Normal (Gaussiana)(Continua)

Características:

• Es la distribución más utilizada en estadística.
• Se define por dos parámetros: $\mu$ (media) y $\sigma$ (desviación estándar).
• Es simétrica alrededor de su media.
• El 68% de los datos se encuentran a una desviación estándar de la media.

Fórmula: $f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

• $f(x; \mu, \sigma)$ es la función de densidad de probabilidad de la distribución normal.
• $x$ es una variable aleatoria continua.

---

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

mu = 0
sigma = 1
x = np.linspace(mu - 4 * sigma, mu + 4 * sigma, 100)
y = norm.pdf(x, mu, sigma)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.title("Distribución Normal")
plt.show()

---

3.Distribución Exponencial (Continua)

Características:

Modela el tiempo entre eventos en un proceso de Poisson. Se define por un parámetro: λ (tasa). Fórmula:

$$f(x; \lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{para } x \ge 0 \\ 0 & \text{para } x < 0 \end{cases}$$

• $f(x; \lambda)$ es la función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial.
• $x$ es una variable aleatoria continua.
• $\lambda$ es el parámetro de la distribución, que representa la tasa de ocurrencia de eventos.

---

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import expon

lambd = 1
x = np.linspace(0, 6, 100)
y = expon.pdf(x, scale=1 / lambd)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.title("Distribución Exponencial")
plt.show()

---

4. Distribución Binomial (Discreta)

Características:

• Modela el número de éxitos en n ensayos independientes de Bernoulli.
• Se define por dos parámetros: $n$ (número de ensayos) y $p$ (probabilidad de éxito).

Fórmula:

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

• $P(X=k)$ es la probabilidad de que ocurran $k$ éxitos en $n$ ensayos independientes.

• $\binom{n}{k}$ es el coeficiente binomial, que se calcula como $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

• $(1-p)$ es la probabilidad de fracaso en cada ensayo.

---

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import binom

n = 10
p = 0.5
x = np.arange(n + 1)
y = binom.pmf(x, n, p)

plt.plot(x, y, "o")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.title("Distribución Binomial")
plt.show()

---

5. Distribución de Poisson (Discreta)

Características:

• Modela el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio fijo.
• Se define por un parámetro: λ (tasa promedio de eventos).

Fórmula:

$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

• $P(X=k)$ es la probabilidad de que ocurran $k$ eventos en un intervalo de tiempo determinado.
• $\lambda$ es el parámetro de la distribución, que representa el número promedio de eventos por unidad de tiempo.
• $k$ es el número de eventos que se espera que ocurran en el intervalo de tiempo.

---

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import poisson

lambd = 4
x = np.arange(poisson.ppf(0.001, lambd), poisson.ppf(0.999, lambd))
y = poisson.pmf(x, lambd)

plt.plot(x, y, "o")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.title("Distribución de Poisson")
plt.show()

---

6. Distribución Gamma (Continua)

Características:

• Modela el tiempo hasta que ocurren k eventos en un proceso de Poisson.

$f(x; \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1} e^{-x/\beta}}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)}$

• $f(x; \alpha, \beta)$ es la función de densidad de probabilidad de la distribución gamma.
• $x$ es una variable aleatoria continua.
• $\alpha$ y $\beta$ son los parámetros de forma y escala, respectivamente.
• $\Gamma(\alpha)$ es la función gamma de $\alpha$, que se define como la integral de 0 a infinito de $t^{\alpha-1} e^{-t} dt$.

---

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import gamma

k = 2
theta = 1
x = np.linspace(0, 15, 100)
y = gamma.pdf(x, k, scale=theta)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.title("Distribución Gamma")
plt.show()

---

7. Distribución Beta (Continua)

Características:

• Modela la distribución de probabilidad de una variable aleatoria en [0, 1].

Fórmula: $f(x; a, b) = \frac{x^{a-1} (1-x)^{b-1}}{B(a,b)}$

• $f(x; a, b)$ es la función de densidad de probabilidad de la distribución beta.
• $x$ es una variable aleatoria continua entre 0 y 1.
• $a$ y $b$ son los parámetros de forma de la distribución.
• $B(a, b)$ es la función beta, que se define como $B(a, b) = \frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$.
• $\Gamma(a)$ es la función gamma de $a$, que se define como la integral de 0 a infinito de $t^{a-1} e^{-t} dt$.

---

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import beta

alpha = 2
_beta = 5
x = np.linspace(0, 1, 100)
y = beta.pdf(x, alpha, _beta)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.title("Distribución Beta")
plt.show()

---

Ejemplos de aplicabilidad de distintas distribuciones

Distribución Uniforme (Continua)

• Lanzar un dado justo: La probabilidad de que caiga cualquier número del 1 al 6 es igual (1/6).
• Elegir un punto aleatorio en un segmento de línea: la probabilidad de que caiga en cualquier lugar del segmento es igual.

---

Distribución Normal (Gaussiana)

• Alturas de personas: La mayoría de las personas tienen una altura cercana al promedio, mientras que hay menos personas muy altas o muy bajas.
• Errores de medición: Los errores aleatorios en mediciones suelen seguir una distribución normal.
• Puntajes de CI: Los puntajes de CI se distribuyen normalmente alrededor de un promedio de 100.

---

Distribución Exponencial

• Tiempo entre llamadas a un centro de llamadas: La distribución exponencial puede modelar el tiempo entre llamadas consecutivas en un centro de llamadas.
• Vida útil de un componente electrónico: La distribución exponencial puede representar la vida útil de ciertos componentes electrónicos que tienen una tasa de falla constante a lo largo del tiempo.

---

Distribución Binomial

• Número de caras al lanzar una moneda n veces: La distribución binomial modela el número de éxitos (caras) en n lanzamientos de una moneda justa.
• Encuestas de opinión: En una encuesta de opinión, la distribución binomial puede modelar el número de personas que responden "sí" a una pregunta específica.

---

Distribución de Poisson

• Número de clientes que llegan a una tienda en una hora: La distribución de Poisson puede modelar la cantidad de clientes que llegan a una tienda en un intervalo de tiempo fijo.
• Número de correos electrónicos recibidos en un día: La distribución de Poisson puede representar la cantidad de correos electrónicos que llegan a una bandeja de entrada durante un día.

---

Distribución Gamma

• Tiempos de espera entre múltiples eventos en un proceso de Poisson: La distribución Gamma puede modelar el tiempo total de espera hasta que ocurren k eventos en un proceso de Poisson.
• Tiempo de vida de ciertos productos: La distribución Gamma puede representar la vida útil de ciertos productos que tienen una tasa de falla variable a lo largo del tiempo.

---

Distribución Beta

• Estimación de proporciones: La distribución Beta puede utilizarse para modelar la distribución de probabilidad de una proporción, como la tasa de conversión de un sitio web o la efectividad de un medicamento.
• Modelado de incertidumbre en estimaciones: La distribución Beta puede representar la incertidumbre en las estimaciones basadas en datos limitados, como la probabilidad de éxito en ensayos clínicos.